gl/l (922)

تابع

قسمتي از نمودار يک تابع. هر عدد x در عبارت f(x) = x3 – x قرار ميگيرد.

در رياضيات، يک تابع رابطهاي است که هر متغير دريافتي خود را فقط به يک خروجي نسبت ميدهد. علامت استاندارد خروجي يک تابع f به همراه ورودي آن، x ميباشد يعني. به مجموعه وروديهايي که يک تابع ميتواند داشته باشد دامنه و به مجموعه خروجيهايي که تابع ميدهد برد ميگويند.

براي مثال عبارت f(x) = x2 نشان دهنده يک تابع است، که در آن f مقدار x را دريافت ميکند و x2 را ميدهد. در اين صورت براي ورودي 3 مقدار 9 به دست ميآيد. براي مثال، براي يک مقدار تعريف شده در تابع f ميتوانيم بنويسيم، f(4) = 16.

معمولاً در تمارين رياضي براي معرفي کردن يک تابع از کلمه f استفاده ميکنيم و در پاراگراف بعد تعريف تابع يعني f(x) = 2x+1 را مينويسم و سپس f(4) = 9. وقتي که نامي براي تابع نياز نباشد اغلب از عبارت y=x2 استفاده ميشود.

وقتي که يک تابع را تعريف ميکنيم، ميتوانيم خودمان نامي به آن بدهيم، براي مثال:

.

يکي از خواص تابع اين است که براي هر مقدار بايد يک جواب وجود داشته باشد، براي مثال عبارت:

يک تابع نميباشد، زيرا ممکن است براي يک مقدار دو جواب وجود داشته باشد. جذر عدد 9 برابر 3 است و در اين رابطه اعداد +3 و -3 به دست ميآيند. براي ساختن يک تابع ريشه دوم، بايد فقط يک جواب براي آن وجود داشته باشد، يعني:

,

که براي هر متغير غيرمنفي يک جواب غيرمنفي وجود دارد.

در يک تابع لزومي ندارد که حتماً بر روي عدد علمياتي انجام گيرد. يک مثال که نشان ميدهد که عملياتي بر روي عدد انجام نميشود، تابعي است که پايتخت يک کشور را معين ميکند. مثلاً Capital(France) = Paris.

حال کمي دقيقتر ميشويم اما هنوز از مثالهاي خودماني استفاده ميکنيم. A و B دو مجموعه هستند. يک تابع از A به B با به هم پيوستن مقادير منحصر به فرد درون A معين ميشود و مجموعه B به دست ميآيد. به مجموعه A دامنه تابع ميگويند؛ مجموعه B هم تمام مقاديري را که تابع ميتواند داشته باشد شامل ميشود.

در بيشتر زمينههاي رياضي، اصطلاحات تبديل و نگاشت معمولاً با تابع هم معني پنداشته ميشوند. در هر حال ممکن است که در بعضي زمينههاي خصوصيات ديگري داشته باشند. براي مثال در هندسه، يک نگاشت گاهي اوقات يک تابع پيوسته تعريف ميشود.

تعاريف رياضي يک تابع

يک تابع f يک رابطه دوتايي است، به طوري که براي هر x يک و فقط يک y وجود داشته باشد تا x را به y رابطه دهد. مقدار تعريف شده و منحصر به فرد y با عبارت (f(x نشان داده ميشود.

به دليل اينکه دو تعريف براي رابطه دوتايي استفاده ميشود، ما هم از دوتعريف براي تابع استفاده ميکنيم.

تعريف اول

تعريف ساده رابطه دوتايي عبارتست از: «يک رابطه دوتايي يک زوج مرتب ميباشد». در اين تعريف اگر رابطه دوتايي دلالت بر «کوچکتر از» داشته باشد آن گاه شامل زوج مرتبهايي مانند (2, 5) است، چون 2 از 5 کوچکتر است.

يک تابع مجموعهاي از زوج مرتبها است به طوري که اگر (a,b) و (a,c) عضوي از اين مجموعه باشند آن گاه b با c برابر باشد. در اين صورن تابع مجذور شامل زوج (3, 9) است. رابطه جذر يک تابع نميباشد زيرا اين رابطه شامل زوجهاي (9, 3) و (9, -3) است و در اين صورت 3 با -3 برابر نيست.

دامنه تابع مجموعه مقادير x يعني مختصهاي اول زوجهاي رابطه مورد نظر است. اگر x در دامنه تابع نباشد آن گاه (f(x هم تعريف نشدهاست.

برد تابع مجموعه مقادير y يعني مختصهاي دوم زوجهاي رابطه مورد نظر است.

تعريف دوم

بعضي از نويسندگان نياز به تعريفي دارند که فقط از زوجهاي مرتب استفاده نکند بلکه از دامنه و برد در تعريف استفاده شود. اين گونه نويسندگان به جاي تعريف زوج مرتب از سهتايي مرتب (X,Y,G) استفاده ميکنند، که در آن X و Y مجموعه هستند (که به آنها دامنه و برد رابطه ميگوييم) و G هم زيرمجموعهاي از حاصلضرب دکارتي X و Y است (که به آن گراف رابطه ميگويند). در اين صورت تابع رابطه دوتايي است که در آن مقادير X فقط يک بار در اولين مختص مقادير G اتفاق ميافتد. در اين تعريف تابع داراي برد منحصر به فرد است؛ اين خاصيت در تعريف نخست وجود نداشت.

شکل تعريف تابع بستگي به مبحث مورد نظر دارد، براي مثال تعريف يک تابع پوشا بدون مشخص کردن برد آن امکانناپذير است.

پيشينه تابع

«تابع»، به عنوان تعريفي در رياضيات، توسط گاتفريد لايبنيز در سال 1694، با هدف توصيف يک کميت در رابطه با يک منحني به وجود آمد، مانند شيب يک نمودار در يک نقطه خاص. امروزه به توابعي که توسط لايبنيز تعريف شدند، توابع مشتقپذير ميگوييم، اغلب افراد اين توابع در هنگام آموختن رياضي با اين گونه توابع برمي خورند. در اين گونه توابع افراد ميتوانند در مورد حد و مشتق صحبت کنند. چنين توابعي پايه حسابان را ميسازند.

واژه تابع بعدها توسط لئونارد اويلر در قرن هجدهم، براي توصيف يک عبارت يا فرمول شامل متغيرهاي گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x3.

در طي قرن نوزدهم، رياضيدانان شروع به فرموله کردن تمام شاخههاي رياضي کردند. ويرسترس بيشتر خواهان به وجود آمدن حسابان در علم حساب بود تا در هندسه، يعني بيشتر طرفدار تعريف اويلر بود.

در ابتدا، ايده تابع ترجيحاً محدود شد. براي ژوزف فوريه مدعي بود که تمام توابع از سري فوريه پيروي ميکنند در حالي که امروزه هيچ رياضيداني اين مطلب را قبول ندارد. با گسترش تعريف توابع، رياضيدانان توانستند به مطالعه «عجايب» در رياضي بپردازند از جمله اين که يک تابع پيوسته در هيچ مکان گسستني نيست. اين توابع در ابتدا بيان نظريههايي از روي کنجکاوي فرض ميشد و آنها از اين توابع براي خود يک «غول» ساخته بودند و اين امر تا قرن بيستم ادامه داشت.

تا انتهاي قرن نوزدهم رياضيدانان سعي کردند که مباحث رياضي را با استفاده از نظريه مجموعه فرموله کنند و آنها در هر موضوع رياضي به دنبال تعريفي بودند که از مجموعه استفاده کند. ديريکله و لوباچوسکي هر يک به طور مستقل و تصادفاً هم زمان تعريف «رسمي» از تابع دادند.

در اين تعريف، يک تابع حالت خاصي از يک رابطه است که در آن براي هر مقدار اوليه يک مقدار ثانويه منحصر به فرد وجود دارد.

تعريف تابع در علم رايانه، به عنوان حالت خاصي از يک رابطه، به طور گستردهتر در منطق و علم تئوري رايانه مطالعه ميشود.

توابع در ساير علوم

توابع مورد استفاده در اکثر علوم کمي ميباشند، براي مثال در فيزيک، هنگامي که ميخواهيم رابطه بين چند متغير را بيان کنيم، مخصوصاً در زماني که مقدار يک متغير کاملاً وابسته به متغير ديگر است. براي مثال وقتي که ميخواهيم نشان دهيم که تغيير دماي آب چه تاثيري بر روي چگالي آن ميگذارد.

توابع را همچنين مورد استفاده در علم رايانه براي مدلسازي ساختمان دادهها و تاثيرات الگوريتم ميبينيم. اين کلمه در رويهها و زيرروالها بسيار ديده ميشود.

اصطلاحات توابع

به يک مقدار ورودي مشخص در يک تابع، آرگومان تابع ميگويند. براي هر آرگومان x، مقدار منحصر به فرد y در مجموعه اعداد برد تابع وجود دارد که با آن مطابقت ميکند، و به آن مقدار در x يا تصوير x تحت f ميگويند. تصوير x ميتواند با (f(x و يا y نشان داده شود.

گراف تابع f مجموعه تمام زوج مرتبهاي ((x, f(x) به ازاي تمام xهاي درون دامنه X است. اگر X و Y زيرمجموعههايي از R (اعداد حقيقي) باشند، در اين صورت اين تعريف مانند شهود «گراف» به عنوان يک تصوير يا نمودار تابع به همراه زوج مرتبهاي نقاط در محور مختصات است.

مفهوم تصوير را ميتوان اتصال مجموعهاي از نقاط تصوير به هم دانست. اگر A زيرمجموعهاي دامنه باشد، آن گاه (f(A هم زيرمجموعهاي از برد است که شامل تمام تصويرهايهاي مقادير A ميشود. در اين صورت ميگوييم که (f(A تصوير A تحت f است.

به ياد داشته باشيد که برد f همان تصوير (f(X در مقادير دامنهاست و برد f زيرمجموعهاي از مجموعه تمام مقادير ممکن براي f است.

وارون (يا معکوس) مجموعه B که مجموعه مقاير ممکن براي Y تحت تابع f است زيرمجموعهاي از دامنه X است که به اين صورت تعريف ميشود:

f −1(B) = {x in X | f(x) is in B}

براي مثال، وارون مجموعه {4, 9} تحت تابع مربع مجموعه {−3,−2,+2,+3} است.

به طور کلي، وارون يک نقطه منحصر به فرد (نقطهاي که فقط يک مقدار براي آن وجود داشته باشد)، ميتواند مجموعه تمام اعداد را دربرگيرد. براي مثال اگر f(x) = 7 باشد، آن گاه وارون {5} تهي است اما وارون {7} برابر مقادير دامنه آن است. در اين صورت وارون يک مقدار در برد زيرمجموعهاي از دامنه آن است. طبق قرارداد وارون يک مقدار يعني f −1(b) ويا همان f −1({b}) به صورت زير است:

f −1(b) = {x in X | f(x) = b}

مهمترين توابع عبارتند از:

تابع يکبهيک، که در آن اين خاصيت وجود دارد که اگر f(a) = f(b) باشد آن گاه a هم بايد با b برابر باشد.

تابع پوشا، که در آن اين خاصيت وجود دارد که براي هر y در برد، يک مقدار x در دامنه وجود داشته باشد يعني f(x) = y.

توابعي که هم يکبهيک و هم پوشا هستند.
اگر از تعريف اول تابع که در بالا گفته شد استفاده شود، تا موقعي که برد تعريف نشده باشد، «يکبهيک» بودن تابع بايد وضعيتي مانند پوشا بودن را داشته باشد. ميتوان از ترکيب دو يا چند تابع به عنوان يک تابع استفاده کرد. براي مثال، f(x) = sin(x2) ترکيب يک تابع سينوسي و يک تابع درجه دو است. توابع f: X → Y و g: Y → Z ميتوانند با هم ترکيب شوند، به طوري که ابتدا اين عمل بر روي تابع f انجام شود و y = f(x) به دست آيد و يک بار هم بر روي g اعمال شود و z = g(y) به دست آيد. تابع مرکب g و f به صورت زير نوشته ميشود:

ابتدا تابع سمت راست عمليات را انجام ميدهد و سپس تابع سمت چپ (برعکس زبان انگليسي) و اين تابع را «جياُاِف» ميخوانيم.

در تعريفي غيرعلمي، تابع وارون f تابعي است که اثر تابع f را خنثي کند، به اين صورت که هر مقدار (f(x را به آرگومان x نسبت دهد. تابع مربع (درجه دو) وارون تابع غيرمنفي جذر (ريشه دوم) است، به طوري که اگر f داراي دامنه X و برد Y و گراف G باشد، آن گاه وارون آن داراي دامنه Y و برد X و گراف است.

G−1 = { (y, x) : (x, y) ∈ G }

براي مثال اگر گراف f برابر G = {(1,5), (2,4), (3,5)} باشد، آن گاه گراف f−1 برابر G−1 = {(5,1), (4,2), (5,3)} ميشود.

رابطه f−1 يک تابع است اگر و تنها اگر براي هر y در برد فقط يک آرگومان x مانند f(x) = y وجود داشته باشد، به عبارت ديگر، وارون تابع f يک تابع است اگر و تنها اگر f پوشا و يکبهيک باشد. در اين مثال، براي هر x درون X f−1(f(x)) = x و براي هر y درون Y f(f−1(y)) = y است. گاهي اوقات ميتوان يک تابع را تغيير داد و اين کار اغلب با جايگذاري دامنهاي جديد که زيرمجموعهاي از دامنه قبلي باشد صورت ميگيرد، و همينطور بايد تغييرات را در برد و گراف اعمال کرد که در اين صورت تابع تغيير داده شده داراي واروني است که خود يک تابع است.

براي مثال وارون تابع y = sin(x)، يعني f(x) = arcsin (x)، به صورت y = arcsin (x) تعريف ميشود اگر و تنها اگر x = sin(y) باشد، و اين يک تابع نيست زيرا گراف آن شامل دو زوج مرتب (0, 0) و (0, 2π) است. اما اگر دامنه y = sin(x) را به −π/2 ≤ x ≤ π/2 تغيير دهيم، براي برد داريم −1 ≤ y ≤ 1 و در اين صورت وارون تابع مورد نظر يک تابع است، و براي بيان آن از A در حرف اول آن استفاده ميکنيم، يعني (f(x) = Arcsin (x.

اما اين روش براي همه توابع عملي نيست، زيرا در بعضي موارد پيدا کردن وارون توابع غيرممکن است.

مشخص کردن تابع

اگر دامنه X تعريف شده باشد، تابع f را ميتوان با جدولبندي کردن آرگومانهاي x و جواب آنها در f(x) تعريف کرد.

چيزي که براي تعريف کردن تابع رايجتر است استفاده از فرمول و به طور کلي استفاده از الگوريتم است، که در آن نشان داده ميشود چه عملياتي بايد بر روي xهاي دامنه انجام گيرد تا f(x) به دست آيد. براي تعريف يک تابع ميتوان از عمل رياضي که با آرگومان x رابطهاي داشته باشد استفاده کرد. البته راههاي زياد ديگري براي تعريف يک تابع وجود دارد؛ از جمله استفاده از روش بازگشتي، استفاده از بسطهاي تجزيه و عبارات جبري، حدها، دنبالهها، سريها و استفاده از معادلات ديفرانسيل.

در رياضيات توابع زيادي وجود دارد که نميتوانند مفهوم خود را به طور دقيق برسانند. يکي از نتايج اصلي نظريه شمارش اين است که توابع زيادي وجود دارند که تعريف ميشوند اما قابل محاسبه نيستند.

علامت تابع

معمولاً پرانتزهاي کنار آرگومان را هنگامي که براي آن ابهامي وجود ندارد حذف ميکنند، مانند: sin x. در برخي موارد علمي، از علامت نشانگذاري لهستاني معکوس استفاده ميشود، که با اين کار بايد پرانتزها را حذف کرد؛ و براي مثال تابع فاکتوريل همواره به صورت n! نوشته ميشود، در حالي که اکثر افراد تابع گاما را به صورت (Γ(n مينويسند.

براي نشان دادن يک تابع ابتدا نام آن را ميآوريم، سپس دامنه، بعد برد و در انتها هم ضابطه تابع را مينويسيم. با استفاده از اين روش اغلب تابع به دو قسمت نشان داده ميشود، مانند:

در اينجا دامنه تابع با نام «f» اعداد طبيعي و برد آن اعداد حقيقي است، و n را به خودش تقسيم بر π تبديل ميکند. (در بعضي موارد نام تابع را به همراه دونقطه، در بالاي پيکان ميآورند). روش نشان دادن ديگري هم وجود دارد که رايجتر اما غيرعلميتر است، در اين روش تابع به شکل کوتاه شده زير نشان داده ميشود:

در اين روش اطلاعات کمتري ارائه شدهاست و ما از دامنه و برد تابع خبر نداريم، و در اين صورت به جاي n ميتوانيم هر عددي از قبيل اعداد گنگ هم قرار دهيم.

بعضي از نويسندگان به جاي استفاده از (f(A از [f[A استفاده ميکنند و اين کار براي رفع ابهام ميان دريافت مفاهيم است، بعضي ديگر هم از f`x به جاي (f(x، و f“A به جاي [f[A استفاده ميکنند.

توابع با چند ورودي و خروجي

توابع دو (يا چند) متغيره

مفهوم تابع را ميتوان با ترکيب دو يا چند آرگومان بيان کرد. اين مفهوم شهودي، زماني ميتواند تعريف شود که دامنه تابع حاصلضرب دکارتي دو يا چند مجموعه باشد.

براي مثال، عمليات را بر روي تابع ضربي که از دو عدد صحيح براي به دست آوردن حاصل استفاده ميکند انجام ميدهيم: f(x, y) = x·y. تابع ميتواند دامنه Z×Z، مجموعه تمام زوجها به عنوان برد Z، و براي گراف، مجموعه تمام زوجهاي ((x,y), x·y) را داشته باشد. به ياد داشته باشيد که مولفه اول چنين زوجهايي يک زوج از اعداد صحيح است، در حالي که مولفه دوم تنها يک عدد صحيح است.

مقدار تابع زوج (x,y) برابر است با f((x,y)). اگر چه معمولاً يک جفت از پرانتزها را حذف ميکنند و آن را به شکل f(x,y) نشان ميدهند، يعني يک تابع دومتغيره شامل x و y.

توابعي که حاصلشان يک مجموعه ضرب است

در اين گونه توابع، مقدار تابع شامل چند متغير است. براي مثال، تابع mirror(x, y) = (y, x) را با دامنه R×R و برد R×R در نظر بگيريد. زوج (y, x) يکي از مقادير برد تابع که يک مجموعهاست، ميباشد.

عمليات دوتايي

منظور ار عمليات دوتايي ساده در رياضي همان جمع و ضرب است، وقتي که در توابع استفاده شوند مقادير را از Z×Z به Z ميبرند. اين موضوع در جبر شرح داده ميشود و در آنجا از توابع nتايي براي انجام عمليات استفاده ميشود.

چيزي که از گذشته مورد استفاده قرار ميگرفته اين است که از عمليات جمع و ضرب به عنوان نشانههاي ميانوندي استفاده شود: x+y و x×y به جاي +(x, y) و ×(x, y).

مجموعه توابع

مجموعه يک تابع از يک مجموعه X به يک مجموعه Y به صورت X → Y يا [X → Y] يا YX نشان داده ميشود. آخرين عبارت ياد شده با استفاده از قضيه بديهي |YX| = |Y||X| اثبات ميشود. جزئيات بيشتر در اعداد اصلي بيان شدهاست.

معمولاً از عبارت f: X → Y براي بيان f ∈ [X → Y] استفاده ميشود، و «f تابعي از X به Y است» خوانده ميشود. بعضي افراد هم آن را «f: X → Y» مينويسند.

آيا يک تابع بيشتر از گرافش است؟

بعضي از رياضيدانان از يک رابطه دوتايي (از اينجا به بعد آن را تابع ميگوييم) به عنوان سهتايي مرتب (X, Y, G) استفاده ميکنند، که در آن X و Y مجموعه دامنه و برد، و G گراف f است. اگر چه، ساير رياضيدانان رابطهاي را تعريف ميکنند که فقط شامل زوجهاي مجموعه G باشد، بدون اين که دامنهاي براي آن تعيين کرده باشند.

در هر تعريف خوبيها و بديهايي وجود دارد، اما هر يک از آنها تعاريف مناسبي هستند که مورد استفاده در رياضي قرار ميگيرند. دامنه و برد موضوع مهمي است و بايد به طور واضح مشخص باشند.

---